Efeito visual de rotação aparente na relatividade especial

Quando o estudante de física é iniciado na relatividade ele depara-se com os efeitos imediatos da relatividade especial  como, dilatação do tempo, a não simultaneidade de eventos e, além disso, a contração do comprimento na direção do movimento, esses são fenômenos físicos importantes da relatividade para quem está iniciando estudos nessa área, porém, esse artigo tem o interesse de evidenciar um fenômeno, que não vem do ator de medir, e sim do de ver objetos com velocidades muito elevadas, a partir do momento que o estudante aceita o fato de que a luz viaja em uma velocidade finita c, começão a surgir efeitos que devem ser desconsiderados para que se possa estudar o sistema em questão.

A luz irradiada por cada ponto de um fenômeno em um determinado ponto do espaço viaja em todas as direções,  mas o olho humano só detecta uma quantidade finita e convergente de raios de luz,

O fato da luz ter uma velocidade finita e constante somado as distâncias variáveis de cada ponto do objeto aliado ao efeito de convergência dos raios luminosos assim como a velocidade elevad de determinado objeto provoca distorções aparentes na forma como vemos objetos que viajam muito rápido,

Pedimos ao leitor agora que imagine que tais raios de luz que emanem de cada ponto de determinado objeto percorreu uma distancia muito longa ate chegar até nos,

Dessa perspectiva podemos considerar que para o observador os raios chegaram quase que paralelos até seus olhos, nesse regime acontece um efeito ótico de distorção interessante que é o de uma rotação aparente em função da velocidade do objeto. 

Como tais distorções exigem uma analise precisa da geometria do objeto que está sendo estudado, geralmente é necessário tratamentos numéricos para realizar as cálculos da rotação, porém com o intuito de evidenciar tais fenômenos adotaremos uma geometria simples que nos possibilitara visualizar tais efeitos, pedimos ao leitor que considere um cubo como o que está representado na figura abaixo, 

Observando o cubo em repouso do ponto $O$ podemos ver que o lado $\overline{ABCD}$ está voltado para $O$, naturalmente não é possível ver o lado $\overline{ADGF}$ de modo que o leitor verá um quadrado perfeito $\overline{ABCD}$,

Olhando a parte superior do cubo, lado $\overline{ABEF}$ que a luz que é emitida do ponto F demora um tempo $\Delta t=\frac{\overline{FA}}{c}$ para chegar até o ponto A.

Naturalmente não podemos ver a luz emitida do ponto F devido ao fato do cubo estar em repouso, sua projeção no plano de visão de quem está observando, porém, imagine agora que o cubo está movendo-se com velocidade $v$ sobre o eixo y para a direita.

Nessa nova configuração enquanto a luz percorre a aresta $\overline{FA}$ do cubo, o cubo se afasta do ponto de emissão evidenciando o lado $\overline{ADGF}$, agora quando o observador o olhar o cubo frontalmente, ele verá uma projeção não nula, provocada pelo movimento do cubo.

Observe também que o cubo sofre uma contração no sentido do movimento então, a distância $\overline{A'B'}=\overline{AB}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$, esse tipo de efeito visual é muito semelhante ao efeito visual da projeção de uma rotação.

Esse novo jeito de ver as projeções que $O$ veria quando o cubo está em movimento, sera a projeção do cubo rotacionado onde, $$\overline{F'A'}=\overline{FA}\sin\theta;\ \ \ \ \ \ \overline{A'B'}=\overline{AB}\cos\theta;$$ Nota-se que o intervalo de tempo que a luz demora para percorre $\overline{FA}$ é $\Delta t=\frac{\overline{FA}}{c}$ nesse mesmo intervalo de tempo o cubo percorre uma distância, $$v\Delta t=v\frac{\overline{FA}}{c}=\overline{F'A'}\ \ \ \ (1)$$ Usando o resultado $\overline{F'A'}=\overline{FA}\sin\theta$ podemos relacionar (1) e obter uma expressão para a rotação aparente do cubo em função da velocidade v, $$v\frac{\overline{FA}}{c}=\overline{FA}\sin\theta\Rightarrow$$ $$\frac{v}{c}=\sin\theta\Rightarrow$$ $$\theta=\arcsin\left( \frac{v}{c}\right) $$ De forma análoga podemos encontrar, $$\sin\theta=\frac{v}{c}\Rightarrow$$ $$\sin^2\theta=\frac{v^2}{c^2}\Rightarrow$$ $$1-\sin^2\theta=1-\frac{v^2}{c^2}\Rightarrow$$ $$\cos^2\theta=1-\frac{v^2}{c^2}\Rightarrow$$ $$\cos\theta=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\Rightarrow$$ $$\theta=\arccos\left( \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right) $$