Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 8.9

8.9) Uma mina explode em três fragmentos, de 100 g cada um, que se deslocam num plano horizontal: um deles para oeste e os outros dois em direções 60° ao norte e 30° ao sul da direção leste, respectivamente. A energia cinética total liberada pela explosão é de 4. 000 J. Ache as velocidades iniciais dos três fragmentos. 

 Olhando para a explosão do alto, podemos adotar o referencial com origem no centro da explosão,

As velocidades comunicadas as massa pela explosão são $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ e $\vec{v}_3$, respectivamente, uma delas segue na direção $ox$ negativo com velocidade $\vec{v}_1$ enquanto as outras duas são lançadas na direção leste $\theta$ sul com velocidade $\vec{v}_3$ e leste $\beta$ norte com velocidade $\vec{v}_2$, respectivamente. Antes da explosão o momento do sistema é nulo $\vec{P}_i=0$, por outro lado depois da explosão o momento do sistema será, $$\vec{P}_f=m\vec{v}_1+m\vec{v}_2+m\vec{v}_3\ \ \ (1)$$ Decompondo os vetores sobre o referencial adotado obtemos, $$\vec{P}_f=-mv_1\hat{i}+mv_2\cos\beta\hat{i}+mv_2\sin\beta\hat{j}+mv_3\cos\theta\hat{i}-mv_3\sin\theta\hat{j}\Rightarrow$$ $$\vec{P}_f=\left( mv_2\cos\beta-mv_1+mv_3\cos\theta\right) \hat{i}+\left(mv_2\sin\beta-mv_3\sin\theta\right) \hat{j}$$ Usando conservação de momento, $$\vec{P}_i=\vec{P}_f\Rightarrow$$ $$0=\left(mv_2\cos\beta-mv_1+mv_3\cos\theta\right) \hat{i}-\left(mv_2\sin\beta-mv_3\sin\theta\right) \hat{j}\ \ \ (2)$$ Igualando componente a componente da equação obtemos as seguintes equações, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} v_2\cos\beta-v_1+v_3\cos\theta=0\ \ \ (3)\\ v_2\sin\beta-v_3\sin\theta=0\ \ \ (4)\\ \end{array}\right.$$ Ao explodir a bomba comunica um total $E$ de energia aos três fragmentos, que se manifesta como energia cinética logo, $$\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}mv_3^2=E\Rightarrow$$ $$v_1^2+v_2^2+v_3^2=\frac{2E}{m}\ \ \ \ (5)$$ Isolando $v_2$ na equação (4), $$v_2=\frac{\sin\theta}{\sin\beta} v_3\ \ \ (6)$$ Aplicando o resultado (6) na equação (3), $$v_1=\left(\sin\theta\cot\beta+\cos\theta\right) v_3\ \ \ (7)$$ Aplicando os resultados (7) em (5) encontramos, $$\left(\sin\theta\cot\beta+\cos\theta\right)^2 v_3^2+\frac{\sin^2\theta}{\sin^2\beta} v_3^2+v_3^2=\frac{2E}{m}$$ Explicitando $v_3$, $$v_3=\sqrt{\frac{2E}{m\left[ \left(\sin\theta\cot\beta+\cos\theta\right)^2+\frac{\sin^2\theta}{\sin^2\beta}+1\right]}}\ \ \ (8)$$ Aplicando (8) em (6) e (7) teremos as seguintes soluções, $$\left\lbrace\begin{array}{lll} v_1=\left(\sin\theta\cot\beta+\cos\theta\right)\sqrt{\frac{2E}{m\left[ \left(\sin\theta\cot\beta+\cos\theta\right)^2+\frac{\sin^2\theta}{\sin^2\beta}+1\right]}}\\ v_2=\frac{\sin\theta}{\sin\beta}\sqrt{\frac{2E}{m\left[ \left(\sin\theta\cot\beta+\cos\theta\right)^2+\frac{\sin^2\theta}{\sin^2\beta}+1\right]}}\\ v_3=\sqrt{\frac{2E}{m\left[ \left(\sin\theta\cot\beta+\cos\theta\right)^2+\frac{\sin^2\theta}{\sin^2\beta}+1\right]}}\\ \end{array}\right.$$ Os valores associados ao problema são, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} m=0,1kg\\ E=4000J\\ \theta=30°\\ \beta=60°\\ \end{array}\right.$$ Substituindo os valores encontramos, $$\left\lbrace \begin{array}{lll} v_3=173,2m/s\\ v_2=100m/s\\ v_1=200m/s\\ \end{array}\right.$$