Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 8.6

8.6) No fundo de uma mina abandonada, o vilão, levando a mocinha como refém, é perseguido pelo mocinho. O vilão, de $70kg$, leva a mocinha, de $50kg$, dentro de um carrinho de minério de $540kg$, que corre com atrito desprezível sobre um trilho horizontal, à velocidade de $10m/s$. O mocinho, de $60kg$, vem logo atrás, num carrinho idêntico, à mesma velocidade. Para salvar a mocinha, o mocinho pula de um carrinho para o outro, com uma velocidade de $6m/s$ em relação ao carrinho que deixa para trás. Calcule a velocidade de cada um dos carrinhos depois que o mocinho já atingiu o carrinho da frente. 

 Adotando o referencial no solo podemos representar inicialmente o herói de massa $m_h$ dentro do carinho de massa $m_c$ viajando com velocidade inicial $v_ic$,

Teremos então que o momento total $P_i$ do sistema nesse instante é, $$P_i=(m_c+m_h)v_{ic}\ \ \ (1)$$ Após o herói saltar do carinho ele adquire uma velocidade $v_h$ em relação ao carrinho, logo em relação ao solo, onde está o nosso referencial, o herói tem uma velocidade $v_h+v_{ic}$, como o carrinho perdeu momento ele está a uma velocidade $v_{fc1}$ (velocidade final do carrinho 1),

Sendo assim o momento final do sistema será, $$P_f=m_cv_{fc1}+m_h(v_{h}+v_{ic})\ \ \ (2)$$ Supondo que o momento do sistema foi conservado, $$P_i=P_f\Rightarrow$$ $$(m_c+m_h)v_{ic}=m_cv_{fc1}+m_h(v_{h}+v_{ic})\Rightarrow$$ Explicitando $v_{fc1}$ obtemos, $$v_{fc1}=\frac{(m_c+m_h)}{m_c}v_{ic}-\frac{m_h}{m_c}(v_{h}+v_{ic})\ \ \ \ (3)$$ Por outro lado, adotando o sistema (o herói, vilão, mocinha e carrinho),

Inicialmente o vilão de massa $m_v$ junto com a mocinha de massa $m_m$ viajam no carrinho de massa $m_c$ a uma velocidade $v_{ic}$, enquanto o herói aproxima-se com velocidade $v_{h}+v_{ic}$, logo o momento inicial nessa nova situação será, $$P_i=m_h(v_h+v_{ic})+(m_c+m_v+m_m)v_{ic}\ \ \ (4)$$ No final do movimento o herói o vilão e a mocinha estão no carrinho, com velocidade $v_{fc2}$ (velocidade final do carrinho 2),

Logo o momento final será, $$P_f=(m_c+m_h+m_v+m_m)v_{fc2}\ \ \ (5)$$ Supondo que o sistema não perde momento teremos, $$P_i=P_f\Rightarrow$$ $$m_h(v_h+v_{ic})+(m_c+m_v+m_m)v_{ic}=(m_c+m_h+m_v+m_m)v_{fc2}$$ Explicitando $v_{fc2}$ obtemos, $$v_{fc2}=\frac{m_h(v_h+v_{ic})+(m_c+m_v+m_m)v_{ic}}{(m_c+m_h+m_v+m_m)}\ \ \ (6)$$ Obtemos como resultado (6) e (3), $$\left\lbrace \begin{array}{ll} v_{fc1}=\frac{(m_c+m_h)}{m_c}v_{ic}-\frac{m_h}{m_c}(v_{h}+v_{ic})\\ v_{fc2}=\frac{m_h(v_h+v_{ic})+(m_c+m_v+m_m)v_{ic}}{(m_c+m_h+m_v+m_m)}\\ \end{array}\right.$$ Substituindo os valores, obtemos $$\left\lbrace \begin{array}{ll} v_{fc1}=9,3m/s\\ v_{fc2}=10,5m/s\\ \end{array}\right.$$