Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 8.18

8.17) Uma gotícula de água começa a formar-se e vai-se avolumando na atmosfera em torno de um núcleo de condensação, que é uma partícula de poeira, de raio desprezível. A gota cai através da atmosfera, que supomos saturada de vapor de água, e vai aumentando de volume continuamente pela condensação, que faz crescer a massa proporcionalmente à superfície da gota. A taxa $\lambda$ de crescimento da massa por unidade de tempo e de superfície da gota é constante. (a) Mostre que o raio $r$ da gota cresce linearmente com o tempo. (b) Mostre que a aceleração da gota, decorrido um tempo $t$ desde o instante em que ela começou a se formar, é dada por $$\frac{dv}{dt}=-g-3\frac{v}{t}.$$ Onde $v$ é a velocidade da gota no instante $t$ (desprezando o efeito da resistência do ar). (c) Mostre que está equação pode ser resolvida tomando $v=at$, e determine a constante a. Que tipo de movimento resulta para a gota? 

 a) Esse é um sistema de massa variável no tempo, podemos escrever tal massa da seguinte forma, $$m(t)=V(t)\rho$$ Para facilitar as contas, adotamos a densidade da água como $1g/cm^3$ dessa forma, $$m(t)=V(t)$$ O volume pode ser escrito da seguinte forma, $$m(t)=\frac{4}{3}\pi \left[ r(t)\right] ^3\ \ \ (1)$$ Derivando a massa no tempo obtemos, $$\frac{dm}{dt}=4\pi\left[ r(t)\right]^2\frac{dr}{dt}\ \ \ (2) $$ Como $A=4\pi r^2$ obtemos, $$\frac{dm}{dt}=A\frac{dr}{dt} $$ Derivando a expressão novamente em função da área $A$ obtemos, $$\frac{d}{dA}\left[ \frac{dm}{dt}\right] =\frac{dr}{dt} $$ Por hipótese a taxa de variação da massa por unidade de tempo por unidade de área é constante igual a $\lambda$, $$\lambda=\frac{dr}{dt} \ \ \ (3)$$ Integrando a expressão no tempo obtemos, $$\lambda t=r\ \ \ (4)$$ b) O momento relacionado ao sistema pode ser derivado para obter a força $F$ que atua sobre a gota, $$F=\frac{d\left[ mv\right] }{dt}=\frac{dm}{dt}v+m\frac{dv}{dt}$$ A força $F$ que atua sobre o sistema é simplesmente o peso, $$-mg=\frac{dm}{dt}v+m\frac{dv}{dt}$$ Explicitando a aceleração, $$\frac{dv}{dt}=-g-\frac{1}{m}\frac{dm}{dt}v$$ Substituindo as expressões (1) e (2) na equação obtemos, $$\frac{dv}{dt}=-g-\frac{1}{\frac{4}{3}\pi r^3}\left[ 4\pi r^2\frac{dr}{dt}\right] v\Rightarrow$$ $$\frac{dv}{dt}=-g-3\frac{dr}{dt}\frac{v}{r}\Rightarrow$$ Da expressão (3) obtemos, $$\frac{dv}{dt}=-g-3\lambda\frac{v}{r}$$ Da expressão (4) obtemos, $$\frac{dv}{dt}=-g-3\frac{v}{t}\ \ \ (5)$$ c) Supondo a solução da equação da forma $v=at$ obtemos, $$\frac{d\left[ at\right] }{dt}=-g-3\frac{at}{t}\Rightarrow$$ $$a=-g-3a\Rightarrow$$ $$a=-\frac{g}{4}$$