Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 7.6

7.6) Um corpo de massa $m=300g$, enfiado num aro circular de raio $R=1m$ situado num plano vertical, está preso por uma mola de constante $k=200N/m$ ao ponto C, no topo do aro (Fig.). Na posição relaxada da mola, o corpo está em B, no ponto mais baixo do aro. Se soltarmos o corpo em repouso a partir do ponto A indicado na figura, com que velocidade ele chegará a B?

Adotando o referencial sobre a conta na posição A, podemos usar a lei dos cossenos para calcular o comprimento $q$ da mola na posição $A$,

Levando en conta que cada lado adjacente ao ângulo $\theta$ tem comprimento $R$ obteremos que, $$q^2=R^2+R^2-2R^2\cos\theta\Rightarrow$$ $$q=R\sqrt{2-2\cos\theta}\ \ \ (1)$$ Sabendo que o comprimento relaxado da mola é $2R$ então, a distensão $\Delta l$ é dado por, $$\Delta l=2R-q\Rightarrow$$ $$\Delta l=2R-R\sqrt{2-2\cos\theta}\Rightarrow$$ $$\Delta l=R\left( 2-\sqrt{2-2\cos\theta}\right)$$ Lembrando que $\theta+\omega=180°$ obtemos que, $$\Delta l=R\left( 2-\sqrt{2-2\cos\left[ 180-\omega\right] }\right)\ \ \ \ \ (2)$$ Podemos encontrar a altura devemos $l_\omega$, $$R=l_\omega+d_\omega$$ O triângulo de abertura $\omega$ nos da relação $d_\omega=R\cos\omega$ logo, $$R=l_\omega+R\cos\omega\Rightarrow$$ $$l_\omega=R\left( 1-\cos\omega\right)\ \ \ \ (3)$$ No primeiro momento, quando a conta está no ponto $A$ ela tem apenas energia potencial gravitacional e elástica, quando ela chega no ponto $B$ converte toda sua energia potencial em cinética, aplicando conservação e energia obtemos, $$\frac{1}{2}mv^2=mgl_\omega+\frac{1}{2}k\Delta l^2$$ Explicitando $v$ obtemos, $$v=\sqrt{2gl_\omega+\frac{k}{m}\Delta l^2}$$ Aplicando (2) e (3) na expressão final obtemos, $$v=\sqrt{2gR\left( 1-\cos\omega\right)+\frac{k}{m}R^2\left( 2-\sqrt{2-2\cos\left[ 180-\omega\right] }\right) ^2}$$ Substituindo os valores obtemos $$v=7,59m/s$$