Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 6.13

6.13) Um bloco de massa $m=5kg$, deslizando sobre uma mesa horizontal, com coeficientes de atrito cinético e estático $0,5$ e $0,6$, respectivamente, colide com uma mola de massa desprezível, de constante de mola $k=250 N/m$, inicialmente na posição relaxada (veja Fig.). O bloco atinge a mola com velocidade de $1m/s$. (a) Qual é a deformação máxima da mola? (b) Que acontece depois que a mola atinge sua deformação máxima? (c) Que fração da energia inicial é dissipada pelo atrito nesse processo?

Podemos adotar o referencial sobre o ponto de equilíbrio da mola quando ela está relaxada, logo antes do bloco de massa $m$ colidir com a mola, de constante $k$,

Ao colidir com a mola o bloco converte toda sua energia cinética em potencial elástica e trabalho, ao pressionar a mola uma distância $x_0$, tal trabalho realizado ao longo da distância $x_0$ é a energia dissipada do sistema e esta relacionado ao atrito, $$E_i=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kx_0^2+f_ax_0=E_f$$ Como o bloco desliza sobre a superfície com atrito dado por $f_a=N\mu_c=mg\mu_c$ podemos reescrever a equação como, $$\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kx_0^2+mg\mu_cx_0$$ Devemos resolver a equação de segundo gral de variável $x_0$ associada a equação acima, $$kx_0^2+2mg\mu_cx_0-mv^2=0\Rightarrow$$ $$x_0=\frac{-mg\mu_c\pm\sqrt{m^2g^2\mu_c^2+mkv^2}}{k}$$ Como só estamos interessados na equação de sinal positivo vez que a de sinal negativo representa a distensão máxima da mola, apos ela voltar de sua compressão máxima que é dada por, $$x_0=\frac{-mg\mu_c+\sqrt{m^2g^2\mu_c^2+mkv^2}}{k}\ \ \ \ (1)$$ Com essa informação em mente podemos prever o que acontecerá quando o bloco ficar em equilíbrio no ponto de distensão máxima, nesse ponto atuam sobre o bloco duas forças na vertical a força de atrito $f_a$ e a força elástica $-F_e$,

Podemos usar a segunda lei de Newton para perver o que acontecerá, sabendo que nesse ponto o bloco está em equilíbrio, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} N-P=0\\ f_a-F_e=0\ \ \ (2)\\ \end{array}\right.\ \ \ (3)$$ O bloco pode ou não permanecer parado, dependera de coeficiente de atrito estático dada pela equação (2) e (3), $$f_a=F_e\Rightarrow$$ $$mg\mu_e=kx_0\Rightarrow$$ $$mg\mu_e=k\left( \frac{-mg\mu_c+\sqrt{m^2g^2\mu_c^2+mkv^2}}{k}\right) \Rightarrow$$ $$mg\mu_e=-mg\mu_c+\sqrt{m^2g^2\mu_c^2+mkv^2}\Rightarrow$$ $$\mu_e=\frac{1}{mg}\sqrt{m^2g^2\mu_c^2+mkv^2}-\mu_c$$ $$\mu_e=\frac{1}{mg}\sqrt{m^2g^2\mu_c^2+mkv^2}-\mu_c\ \ \ \ \ (4)$$ Substituindo os valores obtemos que, $$\mu_e=0,37$$ Logo para que o bloco fique parado o coeficiente de atrito estático deve ser no mínimo o indicado assim e como $\mu_e=0,6$ o bloco permanecera parado. Sabendo que a força de atrito do solo com o bloco, no primeiro momento, é dado por $f_a=mg\mu_c$ podemos usar o resultado (1) para calcular a energia dissipada do sistema, o trabalho é dado por, $$W=Fx=f_ax_0=mg\mu_c\left( \frac{-mg\mu_c+\sqrt{m^2g^2\mu_c^2+mkv^2}}{k}\right)$$ , ou seja, a energia dissipada será, $$W=\frac{mg\mu_c\sqrt{m^2g^2\mu_c^2+mkv^2}-m^2g^2\mu^2_c}{k}\ \ \ \ (5)$$ Podemos descobrir a porcentagem da energia perdida $E_{p\%}$ com base na energia inicial $E_i$ e o trabalho $W$ realizado pelo sistema, $$E_{p\%}=\frac{100W}{E_i}$$ A energia inicial do sistema é simplesmente sua energia cinética, e o trabalho é dado pela equação (5), $$E_{p\%}=\left( \frac{200g\mu_c}{k}\right) \left( \frac{\sqrt{m^2g^2\mu_c^2+mkv^2}-mg\mu_c}{v^2}\right)$$ Logo os resultados da análise são, $$\left\lbrace \begin{array}{lll} x_0=\frac{-mg\mu_c+\sqrt{m^2g^2\mu_c^2+mkv^2}}{k}\\ \mu_e+\mu_c?\frac{1}{mg}\sqrt{m^2g^2\mu_c^2+mkv^2}\\ E_{p\%}=\left( \frac{200g\mu_c}{k}\right) \left( \frac{\sqrt{m^2g^2\mu_c^2+mkv^2}-mg\mu_c}{v^2}\right)\\ \end{array}\right.$$ Substituindo os valores obtemos a resposta para o problema em questão, $$\left\lbrace \begin{array}{lll} a)\ x_0=7,4cm\\ b)\ O\ bloco\ para.\\ c)\ E_{p\%}=72,5\%\\ \end{array}\right.$$