Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 8.15

8.15) Um avião a jato viaja a $900km/h$. Em cada segundo, penetram nos jatos $150m^3$ de ar que, após a combustão, são ejetados com uma velocidade de $600m/s$ em relação ao avião. Tome a densidade do ar como $1,3 kg/m^3$. (a) Calcule o empuxo exercido sobre o avião em $N$ e em $kgf$. (b) Calcule a potência dos jatos, em W e em hp. 

 a) Usando a expressão que relaciona o momento ganho pelo jato em função da matéria acelerada pela turbina a jato, $$-\Delta mv_e=m\Delta v$$ Dividindo a expressão pelo tempo gasto para o avião ejetar o ar obtém-se o empuxo $F_e$, $$-\frac{\Delta m}{\Delta t}v_e=m\frac{\Delta v}{\Delta t}=F_e$$ Adotando o referencial do solo teremos que a velocidade da matéria ejetada pelas turbinas é dado por $v_e=v_j-v_a$, sendo $v_j$ a velocidade do jato e $v_a$ a velocidade do ar em relação ao jato depois que ela foi ejetada, $$F_e=-\frac{\Delta m}{\Delta t}\left( v_j-v_a\right) $$ Escrevendo a massa do ar expulso pelas turbinas em termos da volume $V_a$ e do densidade $\rho_a$ do ar, $$F_e=\frac{V_a\rho_a}{\Delta t}\left( v_a-v_j\right) $$ Substituindo os valores do problema obtemos, $$F_e=\frac{\left( 150m^3\right) \left( 1,3kg/m^3\right) }{\left( 1s\right) }\left( 600m/s-250m/s\right) \Rightarrow$$ $$F_e=6,825\times10^4N\ ou\ F_e=6,959\times10^3kgf$$ b) O trabalho realizado pelas turbinas a jato é para acelerar o ar do repouso até a velocidade de $v_a$, logo podemos representar o trabalho simplesmente pela variação da energia cinética $\Delta E_c$ da massa $\Delta m$ de ar ejetada, $$\Delta E_c=\frac{1}{2}\Delta m v_a^2$$ Escrevendo a massa de ar em termos da densidade e do volume, $$\Delta E_c=\frac{1}{2}V_a\rho_a v_a^2$$ Dividindo a expressão pelo tempo de ejeção $\Delta t$ obtemos a potencial $W$ logo, $$W=\frac{V_a\rho_a v_a^2}{2\Delta t}$$ A expressão acima é o trabalho realizado por ambas as turbinas, porém, queremos a potência de apenas uma delas, supondo que as turbinas são iguais e realizam o mesmo trabalho podemos dividir a expressão pela metade e obter a potência $W_T$ de uma das turbinas, $$W_T=\frac{V_a\rho_a v_a^2}{4\Delta t}$$ Substituindo os valores obtemos $$W_T=\frac{\left( 150m^3\right) \left( 1,3kg/m^3\right) \left( 600m/s\right) ^2}{4\left( 1s\right) }\Rightarrow$$ $$W_T=1,755\times10^7J/s\ ou\ W_T=23534,9hp$$