Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 8.1

8.1) Dois veículos espaciais em órbita estão acoplados. A massa de um deles é de $1.000kg$ e a do outro $2.000kg$. Para separá-los, é detonada entre os dois uma pequena carga explosiva, que comunica uma energia cinética total de $3.000J$ ao conjunto dos dois veículos, em relação ao centro de massa do sistema. A separação ocorre segundo a linha que une os centros de massa dos dois veículos. Com que velocidade relativa eles se separam um do outro? Podemos adotar o referencial no centro de massa dos dois objetos acoplados, com eixo $ox$ para a direita,

Nesse momento inicial $\rho_i$ é nulo,

no segundo momento os dois objetos começão a deslocar-se com velocidade $-v_1\hat{i}$ e $v_2\hat{i}$, dessa forma o momento final $\rho_f$ e a energia cinética final $T_f$ são dados por, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} \rho_f=-m_1v_1+m_2v_2\\ T_f=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2\\ \end{array}\right.$$ Supondo que o momento se conserve teremos que $\rho_i=\rho_f$ dessa forma obtemos o seguinte sistema linear $$\left\lbrace \begin{array}{ll} 0=-m_1v_1+m_2v_2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\\ T_f=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2\ \ \ \ \ \ \ \ (2)\\ \end{array}\right.$$ Isolando $v_2$ em (1) e aplicando em (2) obtemos $$T_f=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2\left( \frac{m_1}{m_2}v_1\right) ^2$$ Explicitando $v_1$ obtemos $$v_1=\sqrt{\frac{2T_fm_2}{\left( m_2m_1+m_1^2\right)}}\ \ \ \ (3)$$ Por outro lado, pela equação (1) temos que $$v_2=\frac{m_1}{m_2}v_1\Rightarrow$$ $$v_2=\frac{m_1}{m_2}\sqrt{\frac{2T_fm_2}{\left( m_2m_1+m_1^2\right)}}\Rightarrow$$ $$v_2=\sqrt{\frac{2T_fm_1}{\left( m_1m_2+m_2^2\right)}}\ \ \ \ (4)$$ Substituindo os valores $m_1=1000kg$ e $m_2=2000kg$ em (3) e (4) obtemos, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} v_1=2m/s\\ v_2=1m/s\\ \end{array}\right.$$ A velocidade relativa é dada pela soma $v=v_1+v_2$, $$v=3m/s$$