6,9) Um sistema formado por duas lâminas delgadas de mesma massa m, presas por uma mola de
constante elástica k e massa desprezível!, encontra-se sobre uma mesa horizontal (veja a Fig.). (a) De que distância a
mola está comprimida na posição de equilíbrio? (b) Comprime-se a lâmina superior, abaixando-a de uma distância
adicional x a partir da posição de equilíbrio. De que distância ela subirá acima da posição de equilíbrio, supondo que a
lâmina inferior permaneça em contato com a mesa? (c) Qual é o valor mínimo de x no item (b) para que a lâmina
inferior salte da mesa?
(a) Devido ao peso da plataforma superior à mola é contraída uma distância $\Delta y$ Pela lei de Hooke temos que,
$$P=-k\Delta y\Rightarrow$$
$$-mg=-k\Delta y\Rightarrow$$
$$\Delta y=\frac{mg}{k}$$
(b) Podemos adotar o referencial no ponto de equilíbrio do sistema,
Ao pressionar a mola para baixo uma distância $x$ ela subirá uma altura $h$ acima do ponto de equilíbrio, assim a energia inicial é dada por,
$$E_i=\frac{1}{2}kx^2-mgx$$
Enquanto que a energia final será,
$$E_f=\frac{1}{2}kh^2+mgh$$
Pela lei de conservação de energia temos que,
$$\Delta E=0$$
Logo,
$$\frac{1}{2}kh^2+mgh=\frac{1}{2}kx^2-mgx\Rightarrow$$
$$\frac{1}{2}k\left( h^2-x^2\right) +mg\left( h+x\right) =0\Rightarrow$$
$$\frac{1}{2}k\left( h-x\right)\left( h+x\right) +mg\left( h+x\right) =0\Rightarrow$$
$$\left( h+x\right)\left( \frac{1}{2}k\left( h-x\right) +mg\right) =0\ \ \ (1)$$
Como a parte direita do produto é não nula, por que $h$ e $x$ tem sinais opostos,
$$\left( h+x\right)=0\Rightarrow$$
$$h=-x$$
c) Como as duas plataformas tem a mesma massa, então a força elástica deve ser de tal forma que,
$$-kx=-2mg\Rightarrow$$
$$x=\frac{2mg}{k}$$
Comentários