Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 6.9

6,9) Um sistema formado por duas lâminas delgadas de mesma massa m, presas por uma mola de constante elástica k e massa desprezível!, encontra-se sobre uma mesa horizontal (veja a Fig.). (a) De que distância a mola está comprimida na posição de equilíbrio? (b) Comprime-se a lâmina superior, abaixando-a de uma distância adicional x a partir da posição de equilíbrio. De que distância ela subirá acima da posição de equilíbrio, supondo que a lâmina inferior permaneça em contato com a mesa? (c) Qual é o valor mínimo de x no item (b) para que a lâmina inferior salte da mesa?

(a) Devido ao peso da plataforma superior à mola é contraída uma distância $\Delta y$ Pela lei de Hooke temos que, $$P=-k\Delta y\Rightarrow$$ $$-mg=-k\Delta y\Rightarrow$$ $$\Delta y=\frac{mg}{k}$$ (b) Podemos adotar o referencial no ponto de equilíbrio do sistema,

Ao pressionar a mola para baixo uma distância $x$ ela subirá uma altura $h$ acima do ponto de equilíbrio, assim a energia inicial é dada por, $$E_i=\frac{1}{2}kx^2-mgx$$ Enquanto que a energia final será, $$E_f=\frac{1}{2}kh^2+mgh$$ Pela lei de conservação de energia temos que, $$\Delta E=0$$ Logo, $$\frac{1}{2}kh^2+mgh=\frac{1}{2}kx^2-mgx\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}k\left( h^2-x^2\right) +mg\left( h+x\right) =0\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}k\left( h-x\right)\left( h+x\right) +mg\left( h+x\right) =0\Rightarrow$$ $$\left( h+x\right)\left( \frac{1}{2}k\left( h-x\right) +mg\right) =0\ \ \ (1)$$ Como a parte direita do produto é não nula, por que $h$ e $x$ tem sinais opostos, $$\left( h+x\right)=0\Rightarrow$$ $$h=-x$$ c) Como as duas plataformas tem a mesma massa, então a força elástica deve ser de tal forma que, $$-kx=-2mg\Rightarrow$$ $$x=\frac{2mg}{k}$$