Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 5.6

5.6) 0 sistema da figura está em equilíbrio. A distância $d$ é de $1m$ e o comprimento relaxado de cada uma das duas molas iguais é de $0,5m$. A massa m de $1kg$ faz descer o ponto P de uma distância $h=15cm$. A massa das molas é desprezível. Calcule a constante $k$ das molas.

A força peso aponta para baixo, enquanto duas forças elásticas atuais segundo um ângulo $\theta$,

Decompondo as forças segundo o referencial com eixo $ox$ sobre a horizontal de forma a levar em conta o ângulo $\theta$ que as forças elásticas fazem com a vertical,

Como o sistema está em equilíbrio usamos a segunda lei de Newton para escrever as forças que atuam sobre o bloco, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} 2F_ey-P=0\ \ \ \ (1)\\ F_ex-F_ex=0\ \ \ \ (2)\\ \end{array}\right.$$ Segundo a equação 1 temos que, $$2F_ey=P\Rightarrow$$ $$2F_e\sin\theta=mg\Rightarrow$$ $$F_e=\frac{mg}{2\sin\theta}\ \ \ \ \ (3)$$ Usando Pitágoras no triângulo cujo um dos ângulos é $\theta$, obtemos o comprimento das molas fora do estado relaxado da mesma, $$l=\sqrt{h^2+\frac{d^2}{4}}$$ Encontramos, ainda, no triângulo a seguinte relação, $$\sin\theta=\frac{h}{\sqrt{h^2+\frac{d^2}{4}}}$$ Substituindo a relação em (3) obtemos, $$F_e=\frac{mg\sqrt{h^2+\frac{d^2}{4}}}{2h}$$ Podemos reescrever a força elástica como $F_e=k\Delta l$, $$k\Delta l=\frac{mg\sqrt{h^2+\frac{d^2}{4}}}{2h}\Rightarrow$$ $$k=\frac{mg\sqrt{h^2+\frac{d^2}{4}}}{2h\Delta l}$$ , porém, $\Delta l=l-\frac{d}{2}$, ou seja, $\Delta l=\sqrt{h^2+\frac{d^2}{4}}-\frac{d}{2}$ substituindo a relação na equação acima obtemos, $$k=\frac{mg\sqrt{h^2+\frac{d^2}{4}}}{2h\left( \sqrt{h^2+\frac{d^2}{4}}-\frac{d}{2}\right) }$$ Substituindo os valores do problema obtemos, $$k=774,5N/m$$