Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 7.8

7.8) Uma partícula está confinada a mover-se no semi-espaço $z\geqslant0$, sob a ação de forças conservativas, de energia potencial $U(x,y,z)=F_0z+\frac{1}{2} k(x^2+y^2)$, onde $F_0$ e $k$ são positivas. (a) Calcule as 2 componentes da força que atua sobre a partícula. (b) Que tipo de força atua ao longo do eixo $Oz$? (c) Que tipo de forças atuam no plano $xy$? (d) Qual é a forma das superfícies equipotenciais?

 a) Sabemos que a força $\vec{F}$ é menos o gradiente da função potencial $U(x,y,z)$, então, $$\vec{F}=-grad(U)\Rightarrow$$ $$\vec{F}=-\left( \frac{\partial }{\partial x}\left[ F_0z+\frac{1}{2} k(x^2+y^2)\right] ,\frac{\partial U}{\partial y}\left[ F_0z+\frac{1}{2} k(x^2+y^2)\right],\frac{\partial U}{\partial z}\left[ F_0z+\frac{1}{2} k(x^2+y^2)\right]\right) \Rightarrow$$ $$\vec{F}=-\left( -kx,-ky,-F_0\right)$$ b) Podemos perceber que a força na direção $oz$ é constante e aponta para baixo, c) Enquanto que no plano $xy$ a força que atua nessa direção é a Lei de Hooke uma força central à origem, d) podemos reescrever a equação da seguinte forma, $$U(x,y,z)=F_0z+\frac{1}{2} kx^2+\frac{1}{2} ky^2$$ como os coeficientes são positivos e o valor de $U(x,y,z)$ é constante a equação é um paraboloide com concavidade para baixo,