Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 7.18

7.18) Uma bolinha amarrada a um fio de comprimento $l=1m$ gira num plano vertical. (a) Qual deve ser a velocidade da bolinha no ponto mais baixo B (Fig.) para que ela descreva o círculo completo? (b) A velocidade satisfazendo a esta condição, verifica-se que a tensão do fio quando a bolinha passa por B difere por $4,41N$ da tensão quando ela passa pela posição horizontal A. Qual é a massa da bolinha? 

 a) O movimento inicia-se no ponto mais baixo da trajetória no ponto ideal para colocar o referencial, logo a bolinha na corda deve chegar no ponto máximo e ainda ter energia cinética suficiente para retornar a base da trajetória, de forma que o fio fique esticado durante todo o movimento,

No ponto mais alto da trajetória a bolinha terá três forças agindo sobre ela, a tensão $\vec{T}$, a força centrifuga $\vec{F}_{cf}$ e é claro a força peso $\vec{P}$, como não existe movimento na vertical usando a segunda lei de Newton obtemos a seguinte equação, $$\vec{F}_{cf}-\vec{P}-\vec{T}=0\Rightarrow$$ Explicitando $v_f$ obtemos, $$\vec{F}_{cf}=\vec{P}+\vec{T}\Rightarrow$$ $$m\frac{v^2_f}{l}=mg+T\Rightarrow$$ $$v_f=\sqrt{gl+\frac{Tl}{m}}$$ Existem vários valores para a tensão que proporcionam uma volta completa, para ser mais preciso os valores variam de $0\leqslant T \leqslant T_{critico}$, onde $T_{critico}$ é um valor para o qual a corda se rompe, porém, estamos interessados no valor mínimo de $T$ para o qual a velocidade $v_f$ proporciona uma volta completa, logo $T=0$ é esse valor, por conseguinte obtemos, $$v_f=\sqrt{gl}$$ A energia no início $E_i$ do sistema é apenas energia cinética dada por $v_B$, $$E_i=\frac{1}{2}mv_B^2$$ Por outro lado, ao fim do movimento a energia final $E_f$ deve ser a energia potencial máxima dada pela altura $2l$ e uma cinética mínima que ja discutimos dado por $v_f$, $$E_f=\frac{1}{2}m\left( \sqrt{gl}\right) ^2+2mgl$$ Supondo que não exista dissipação de energia no processo a energia inicial é igual à energia final, logo, $$E_f=E_i\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}m\left( \sqrt{gl}\right) ^2+2mgl=\frac{1}{2}mv_B^2$$ Isolando $v_b$ encontramos, $$v_B=\sqrt{5gl}\ \ \ \ (1)$$ Substituindo os valores obtemos $$v_B=7m/s$$ b) Usando o mesmo referencial podemos encontrar a velocidade $\vec{v}_A$ da bolinha no ponto $A$, sabendo que no início do movimento a bolinha tem apenas energia cinética devido à velocidade $v_b$ então, $$E_B=\frac{1}{2}mv^2_B$$ Por outro lado, no segundo momento, quando a bolinha estiver passando por $A$, a bolinha tem energia cinética dada por $v_A$ e potencial gravitacional devido à altura $l$, logo a energia em A, $E_A$, será, $$E_A=\frac{1}{2}mv_A^2+mgl$$ Como a energia é conservada durante o processo então teremos que, $$E_A=E_B\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}mv_A^2+mgl=\frac{1}{2}mv^2_B$$ Explicitando $v_A$ obtemos, $$v_A=\sqrt{v^2_B-2gl}$$ Aplicando o valor (1) de $v_B$ obtemos, $$v_A=\sqrt{3gl}\ \ \ \ (2)$$ Com essas informações, examinaremos as forças que atuam sobre a partícula nos dois momentos,

No ponto $B$ a bolinha está em equilíbrio na vertical, enquanto no ponto A ela está em equilíbrio na horizontal, usando a segunda lei de Newton obtemos as equações que descrevem o equilíbrio da bolinha nessas direções, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} T_B-P-F_{Bcf}=0\\ F_{Acf}-T_A=0\\ \end{array}\right.$$ Explicitando as tensões obtemos $$\left\lbrace \begin{array}{ll} T_B=mg+m\frac{v_B^2}{l}\\ T_A=m\frac{v_A^2}{l}\\ \end{array}\right.$$ Pela informação dada pelo problema $T_B=T_A+C$ então, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} T_A=mg+m\frac{v_B^2}{l}-C\\ T_A=m\frac{v_A^2}{l}\\ \end{array}\right.$$ Igualando as duas tensões obtemos, $$m\frac{v_A^2}{l}=mg+m\frac{v_B^2}{l}-C$$ Explicitando $m$ obtemos, $$m=\frac{C}{g+\frac{v_B^2}{l}-\frac{v_A^2}{l}}$$ Usando os valores de (1) e (2) das velocidades $v_B$ e $v_A$ obtemos, $$m=\frac{C}{3g}$$ Lembrando que $C=4,41N$ concluímos que a massa será, $$m=150gramas$$