8.16) Uma corrente de massa igual a $750g$ e $1,5m$ de comprimento está jogada no chão. Uma pessoa segura-a por uma das pontas e suspende-a verticalmente, com velocidade constante de $0,5m/s$. (a) Calcule a razão entre a força exercida pela pessoa no instante final, em que está terminando de tirar a corrente do chão, e a força que teve de exercer no instante inicial. (b) Qual é o trabalho realizado?
a) Supondo que a corrente tenha um comprimento $l$ com $n$ elos, podemos supor que os elos sejam suficientemente pequenos em relação a $l$ de forma que podemos dizer que a massa $m$ esteja distribuída uniformemente ao longo de $l$ nessas condições a densidade $\rho$ da corrente é dada por,
$$\rho=\frac{m}{l}$$
A medida que a corrente some na direção $oy$ podemos obter a massa da corrente em função do comprimento elevado $y$,
$$m(y)=\frac{m}{l}y,$$
porém, como a corrente sobe a uma velocidade constante $v$ temos que $y=vt$ dessa forma obtemos a massa da corrente em função do tempo,
$$m(t)=\frac{m}{l}vt$$
Multiplicando a expressão pela velocidade de elevação da corrente obtemos o momento em função do tempo,
$$P(t)=m(t)v=\frac{m}{l}v^2t$$
Derivando o momento no tempo obtemos a força no instante $t=0$,
$$F=\frac{d}{dt}\left[ \frac{m}{l}v^2t\right]= \frac{m}{l}v^2$$
Como no final a força que a mão da pessoa que elava a corrente é simplesmente o peso da corrente, obtemos,
$$\frac{mg}{\frac{m}{l}v^2}=\frac{lg}{v^2}$$
Substituindo os valores obtemos,
$$\frac{lg}{v^2}=58,8$$
b) Fica evidente que no início do movimento não havia energia mecânica, isto é, $E_i=0$, no final do processo a energia adquirida pelo sistema é a potencial juntamente a energia cinética, lembrando que no momento final o centro de massa da corda esta na altura $\frac{l}{2}$ teremos,
$$E_f=-\frac{mgl}{2}+\frac{1}{2}mv^2$$
Logo o trabalho será a diferença de energia mecânica no início e no final do movimento,
$$W=E_f-E_i\Rightarrow$$
$$W=\frac{mgl}{2}+\frac{1}{2}mv^2$$
Substituindo os valores obtemos
$$W=5,60625J$$
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