Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 8.16

8.16) Uma corrente de massa igual a $750g$ e $1,5m$ de comprimento está jogada no chão. Uma pessoa segura-a por uma das pontas e suspende-a verticalmente, com velocidade constante de $0,5m/s$. (a) Calcule a razão entre a força exercida pela pessoa no instante final, em que está terminando de tirar a corrente do chão, e a força que teve de exercer no instante inicial. (b) Qual é o trabalho realizado?

a) Supondo que a corrente tenha um comprimento $l$ com $n$ elos, podemos supor que os elos sejam suficientemente pequenos em relação a $l$ de forma que podemos dizer que a massa $m$ esteja distribuída uniformemente ao longo de $l$ nessas condições a densidade $\rho$ da corrente é dada por, $$\rho=\frac{m}{l}$$ A medida que a corrente some na direção $oy$ podemos obter a massa da corrente em função do comprimento elevado $y$, $$m(y)=\frac{m}{l}y,$$ porém, como a corrente sobe a uma velocidade constante $v$ temos que $y=vt$ dessa forma obtemos a massa da corrente em função do tempo, $$m(t)=\frac{m}{l}vt$$ Multiplicando a expressão pela velocidade de elevação da corrente obtemos o momento em função do tempo, $$P(t)=m(t)v=\frac{m}{l}v^2t$$ Derivando o momento no tempo obtemos a força no instante $t=0$, $$F=\frac{d}{dt}\left[ \frac{m}{l}v^2t\right]= \frac{m}{l}v^2$$ Como no final a força que a mão da pessoa que elava a corrente é simplesmente o peso da corrente, obtemos, $$\frac{mg}{\frac{m}{l}v^2}=\frac{lg}{v^2}$$ Substituindo os valores obtemos, $$\frac{lg}{v^2}=58,8$$ b) Fica evidente que no início do movimento não havia energia mecânica, isto é, $E_i=0$, no final do processo a energia adquirida pelo sistema é a potencial juntamente a energia cinética, lembrando que no momento final o centro de massa da corda esta na altura $\frac{l}{2}$ teremos, $$E_f=-\frac{mgl}{2}+\frac{1}{2}mv^2$$ Logo o trabalho será a diferença de energia mecânica no início e no final do movimento, $$W=E_f-E_i\Rightarrow$$ $$W=\frac{mgl}{2}+\frac{1}{2}mv^2$$ Substituindo os valores obtemos $$W=5,60625J$$