Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 8.10

8.10) Uma barra cilíndrica homogênea de $3m$ de comprimento é dobrada duas vezes em ângulo reto, a intervalos de $1m$ de modo a formar três arestas consecutivas de um cubo (Fig.). Ache as coordenadas do centro de massa da barra, no sistema de coordenadas da figura. 

Usando o referencial da figura, supondo as barras homogêneas e individuais em relação a cada aresta, podemos supor o centro de massa de cada aresta no centro das barras,

Os vetores $\vec{r}_1$, $\vec{r}_2$ e $\vec{r}_3$ localizam o centro de massa de casa barra, supondo que cada aresta tenha um comprimento $l$ tais vetores são dados por, $$\left\lbrace \begin{array}{lll} \vec{r}_1=\left( \frac{l}{2},0,0\right)\\ \vec{r}_1=\left(l,\frac{l}{2},0\right)\\ \vec{r}_1=\left(l,l,\frac{l}{2}\right)\\ \end{array}\right.$$ O centro de massa $\vec{C}_m$ de uma objeto é dado por, $$\vec{C}_m=\frac{1}{M}\sum m_i\vec{r}_i$$ Supondo que a massa seja homogênea ao longo das barras teremos, $$\vec{C}_m=\frac{m\left( \frac{l}{2},0,0\right)+m\left(l,\frac{l}{2},0\right)+m\left(l,l,\frac{l}{2}\right)}{3m}\Rightarrow$$ $$\vec{C}_m=\left( \frac{m\frac{l}{2}+ml}{3m},\frac{m\frac{l}{2}+ml}{3m},\frac{m\frac{l}{2}}{3m}\right)\Rightarrow$$ $$\vec{C}_m=\left( \frac{5}{6},\frac{1}{2},\frac{1}{6}\right)l$$ Se as arestas tem comprimentos $l=1m$ obtemos, $$\vec{C}_m=\left( \frac{5}{6},\frac{1}{2},\frac{1}{6}\right)$$