6.14) Um pêndulo é afastado da vertical de um ângulo de $60°$ e solto em repouso. Para que ângulo
com a vertical sua velocidade será a metade da velocidade máxima atingida pelo pêndulo?
Adotando o referencial no nível potencial mais baixo do pendulo,
A velocidade máxima que o pendula atinge dado uma abertura $\theta$ é dada por,
$$E_i=E_f\Rightarrow$$
$$mgh_\theta=\frac{1}{2}mv^2\Rightarrow$$
$$v=\sqrt{2gh_\theta}$$
Entretanto, $L=L_\theta+h_\theta$ enquanto $L_\theta=L\cos\theta$, logo teremos que,
$$h_\theta=L\left(1-\cos\theta\right) $$
Aplicando o resultado na velocidade obtemos,
$$v_\theta=\sqrt{2gL\left( 1-\cos\theta\right)}\ \ \ (1)$$
Queremos agora descobrir para qual ângulo $\omega$ durante o movimento a velocidade do pendulo será a metade da máxima $v_\theta$. Usando conservação de energia, no primeiro instante o pendulo tem apenas energia potencial, que durante o movimento é convertido em energia cinética, ou seja,
$$mgh_\theta=\frac{1}{2}mv_\omega^2+mgh_\omega\ \ \ \ (2)$$
O comprimento do pendulo é $L=L_\omega+h_\omega$ para o ângulo $\omega$, da mesma forma vale a relação $L_\omega=L\cos\omega$, ou seja,
$$L=L_\omega+h_\omega\Rightarrow$$
$$L=L\cos\omega+h_\omega\Rightarrow$$
$$h_\omega=L\left(1-\cos\omega\right)\ \ \ \ (3)$$
Substituindo (3) em (2) e lembrando que $v_\omega=\frac{1}{2}v_\theta$ obtemos $\omega$,
$$mgL\left(1-\cos\theta\right)=\frac{1}{2}m\left( \frac{1}{2}v_\theta\right) ^2+mgL\left(1-\cos\omega\right)\Rightarrow$$
$$gL\left(1-\cos\theta\right)=\frac{1}{8}v_\theta^2+gL\left(1-\cos\omega\right)\Rightarrow$$
$$8gL-8gL\cos\theta=v_\theta^2+8gL-8gL\cos\omega\Rightarrow$$
$$\cos\omega=\cos\theta+\frac{v_\theta^2}{8gL}\Rightarrow$$
$$\omega=\arccos\left( \cos\theta+\frac{v_\theta^2}{8gL}\right)$$
Substituindo (1) na equação acima obtemos,
$$\omega=\arccos\left( \cos\theta+\frac{2gL\left( 1-\cos\theta\right)}{8gL}\right)\Rightarrow$$
$$\omega=\arccos\left( \cos\theta+\frac{\left( 1-\cos\theta\right)}{4}\right)\Rightarrow$$
$$\omega=\arccos\left( \frac{3\cos\theta+1}{4}\right)\ \ \ \ \ (4)$$
No caso de um ângulo inicial $\theta=60°$ teremos que,
$$\omega=\arccos\left( \frac{5}{8}\right)$$
Isto é,
$$\omega=(51,3)°$$
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