Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 6.10

6.10) Um cabo uniforme, de massa $M$ e comprimento $L$, está inicialmente equilibrado sobre uma pequena polia de massa desprezível, com a metade do cabo pendente de cada lado da polia. Devido a um pequeno desequilíbrio, o cabo começa a deslizar para uma de suas extremidades, com atrito desprezível. Com que velocidade o cabo está-se movendo quando a sua outra extremidade deixa a polia?

 Escolhendo o referencial a uma altura $\frac{L}{2}$ logo abaixo das pontas da corda, podemos escolher examinar dois pontos da corda $A$ e $B$ na esquerda e direita da polia, respectivamente, que inicialmente estão no mesmo nível potencial de energia, situados na mediatriz da metade de cada lado da corda e de forma que toda a massa de cada lado da corda, $M_A=\frac{1}{2}M$ e $M_B=\frac{1}{2}M$, está concentrado nos seus respectivos pontos $A$ e $B$, como mostrado na figura abaixo,

No momento inicial, ilustrado pelo lado direito da figura, vemos que a corda não tem velocidade, e que a energia do sistema é dada simplesmente por sua energia potencial dada pela altura inicial $\frac{3L}{4}$ de cada ponto, isto é, $$E_i=M_A g\frac{3L}{4} +M_Bg\frac{3L}{4}\Rightarrow$$ $$E_i=\left( \frac{M}{2}\right) g\left( \frac{3L}{4}\right) +\left( \frac{M}{2}\right) g\left( \frac{3L}{4}\right)\Rightarrow$$ $$E_i= \frac{3}{4}MgL\ \ \ \ (1)$$ Em um segundo momento a ponto $A$ do lado esquerdo da corda converte parte sua energia potencial gravitacional em energia cinética, ficando em um novo nível potencial dado pela altura $\frac{1}{4}L$, por outro lado, a ponto $B$ do lado direito da corda para novamente no mesmo nível potencial de altura $\frac{3}{4}L$ enquanto adquire uma energia cinética equivalente a de $A$, logo a energia do sistema quando $A$ toca o solo será, $$E_f=\frac{1}{2}M_Av^2+\frac{1}{2}M_Bv^2+M_Ag\frac{L}{4}+M_Bg\frac{3L}{4}\Rightarrow$$ $$E_f=\frac{1}{2}\left( \frac{M}{2}\right)v^2+\frac{1}{2}\left( \frac{M}{2}\right)v^2+\left( \frac{M}{2}\right)g\frac{L}{4}+\left( \frac{M}{2}\right)g\frac{3L}{4}\Rightarrow$$ $$E_f=\frac{1}{2}Mv^2+Mg\frac{L}{2}\ \ \ \ (2)$$ Pela lei de de conservação de energia a energia inicial (1) e final (2) devem manter-se constante, vez que, não existe força dissipativas no sistema, logo, $$\frac{3}{4}MgL=\frac{1}{2}Mv^2+Mg\frac{L}{2}$$ Explicitando a velocidade obtemos, $$v=\pm\sqrt{\frac{gL}{2}}$$ Como queremos a velocidade na extremidade $A$ teremos que, $$v=-\sqrt{\frac{gL}{2}}$$