Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 8.11

8.11) Ache as coordenadas do $CM$ (centro de massa) da placa homogênea $OABCD$ indicada na figura, dividindo-a em três triângulos iguais. (b) Mostre que se obtém o mesmo resultado calculando o CM do sistema formado pelo quadrado $OABD$ e pelo triângulo $BCD$ que dele foi removido, atribuindo massa negativa ao triângulo.

a) O centro de massa de um triangulo está a um terço do caminho entre a base e seu vértice de uma de suas mediatrizes, logo supondo um quadrado de lado $l$ podemos dividir nos três triângulos da figura e representar o centro de massa pelos vetores $\vec{r}_1$, $\vec{r}_2$ e $\vec{r}_3$,

Os vetores posição de cada centro de massa é dado por, $$\left\lbrace \begin{array}{lll} \vec{r}_1=\left(\frac{1}{3}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\\ \vec{r}_2=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\frac{1}{2}\right)\\ \vec{r}_3=\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\\ \end{array}\right.$$ Supondo que a massa da placa é uniforme o centro de massa $\vec{C}_m$ é dado por, $$\vec{C}_m=\frac{1}{3m}\left[m\left(\frac{1}{3}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)+m\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\frac{1}{2}\right)+m\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right]\Rightarrow$$ $$\vec{C}_m=\left(\frac{1}{2},\frac{7}{18}\right)l$$ b) Considerando o quadrado menos o triangulo como indicado a seguir,

Os centros de massa das receptivas figuras são dados pelos vetores $\vec{r}_1$ e $\vec{r}_2$, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} \vec{r}_2=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)l\\ \vec{r}_1=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\frac{1}{2}\right)l\\ \end{array}\right.$$ Logo o centro da mesma figura da questão (a) será, $$\vec{C}_m=\frac{1}{4m-m}4m\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)l-\frac{1}{4m-m}m\left( \frac{1}{2},\frac{5}{6}\right)l \Rightarrow$$ $$\vec{C}_m=\left(\frac{1}{2},\frac{7}{18}\right)l$$