Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 6.8

6.8) Uma partícula move-se ao longo da direção x sob o efeito de uma força $F(x)=-kx+Kx^2$ , onde $k=200N/m$ e $K=300N/m^2$ . (a) Calcule a energia potencial $U(x)$ da partícula, tomando $U(0)=0$, e faça um gráfico de $U(x)$ para $-0,5m\leqslant x\leqslant1m$. (b) Ache as posições de equilíbrio da partícula e discuta sua estabilidade. (c) Para que domínio de valores de x e da energia total E a partícula pode ter um movimento oscilatório?

 (a) A energia potencial é definida como, $$U(x)=-\int F(x)dx$$ Dessa forma teremos que, $$U(x)=-\int-kx+Kx^2dx=\frac{1}{2}kx^2-\frac{1}{3}Kx^3+c\Rightarrow$$ Como $U(0)=0$ então, $$U(x)=\frac{1}{2}kx^2-\frac{1}{3}Kx^3+c\Rightarrow$$ $$0=U(0)=\frac{1}{2}k(0)^2-\frac{1}{3}K(0)^3+c\Rightarrow$$ $$c=0$$ Logo a equação que descreve a energia potencial do sistema será, $$U(x)=\frac{1}{2}kx^2-\frac{1}{3}Kx^3\Rightarrow$$ $$U(x)=100x^2-100x^3\ \ \ (1)$$ O gráfico de $U(x)$ é dado por,

(b) Podemos encontrar as posições de equilíbrio resolvendo $F(x)=0$ logo, $$Kx^2-kx=0\Rightarrow$$ $$x(Kx-k)=0\Rightarrow$$ $$\left\lbrace \begin{array}{ll} x_1=0m\\ x_2=\frac{k}{K}=\frac{2}{3}m\\ \end{array}\right. $$ No ponto $x=0m$ a partícula está em um estado estabilizado de equilíbrio, enquanto em $x=\frac{2}{3}m$ ela está instável, (c) Como o movimento oscilatório é limitado superior e inferiormente, teremos que ele deve ser limitado entre, $U(0)$ e $U(\frac{2}{3})$, logo a energia deve variar entre, $$0\leqslant E\leqslant 14,8J$$