Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 7.9

7.9) Um oscilador harmônico tridimensional isotrópico é definido como uma partícula que se move sob a ação de forças associadas à energia potencial $$U(x,y,z)=\frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$$ onde $k$ é uma constante positiva. Mostre que a força correspondente é uma força central, e calcule-a. De que tipo é a força obtida? 

 Podemos reescrever a equação da seguinte forma, $$\frac{2}{k}U(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$$ O potencial descreve um campo escalar no formato de uma espera de raio $\sqrt{\frac{2}{k}U(x,y,z)}$ centrada na origem,

Esse gráfico evidencia o fato da de que a força $\vec{F}$ é uma força central, tal força é dada por, $$\vec{F}=-grad(U)\Rightarrow$$ $$\vec{F}=-\left( \frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y},\frac{\partial U}{\partial z}\right) \Rightarrow$$ $$\vec{F}=\left( -kx,-ky,-kz\right)$$ A força em cada ponto do espaço descreve o campo vetorial $\vec{F}$ que está representado a seguir,

Como o modulo da força depende apenas da distância da partícula até o centro $(0,0,0)$ do movimento $\vec{F}$ é central.