Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 7.21

7.21) Uma escada rolante liga um andar de uma loja com outro situado a $7,5m$ acima. O comprimento da escada é de $12m$ e ela se move a $0,60m/s$. (a) Qual deve ser a potência mínima do motor para transportar até $100$ pessoas por minuto, sendo a massa média de $70kg$? (b) Um homem de $70kg$ sobe a escada em $10s$. Que trabalho o motor realiza sobre ele? (c) Se o homem, chegando ao meio, põe-se a descer a escada, de tal forma a permanecer sempre no meio dela, isto requer que o motor realize trabalho? Em caso afirmativo, com que potência? 

 a) Adotando o referencial sobre a escada de forma que o eixo $ox$ positivo esteja sobre a superfície da escada enquanto a origem está na base da mesma,

Uma pessoa subindo sozinha sobre a escada realiza um trabalho devido à força peso na direção horizontal $-P_x$ em relação ao referencial escolhido realiza um trabalho sobre o motor dado por, $$W=-P_xd\Rightarrow$$ $$W=-P\sin\theta d$$ pelas relações trigonométricas obtemos $$W=-mg\frac{h}{d}d\Rightarrow$$ $$W=-mgh$$ Dessa forma um número $n$ de pessoa que sobre a escada realizam um trabalho dado por $$W=-nmgh$$ Sendo a potência $\rho$ em um intervalo de tempo $\Delta t$ obtemos que, $$\rho=-\frac{n}{\Delta t}mgh\ \ \ (1)$$ Substituindo os valores obtemos $$\rho=8575J/s$$ b) o trabalho realizado por uma pessoa em uma dada distância $d'$ é dado por $$W=P\sin\theta d'$$ porém, tal distância pode ser obtida levando o tempo $\Delta t$, que o homem demora para percorrer tal distância, e a velocidade $v$ da escada, $d'=v\Delta t$, $$W=P\sin\theta v\Delta t$$ usando as relações trigonométricas anteriormente usadas para $\sin\theta$ obtemos, $$W=\frac{mghv\Delta t}{d}$$ substituindo os valores obtemos $$w=2572,5J$$ c) Embora o homem esteja parado o motor deve realizar um trabalho para mantê-lo em repouso, pois, a esteira do motor percorrerá uma distância $d'$ em um tempo $\Delta t$ na velocidade do homem $v_h$, ou seja, $d'=v_h\Delta t$, logo, o trabalho deve ser, $$W=P\sin\theta d'\Rightarrow$$ $$W=\frac{mghv_h\Delta t}{d}$$ dividindo a equação pelo tempo $\Delta t$ obtemos a potência $\rho$ que o motor realiza para deixa o homem imoveu, $$\rho=\frac{mghv_h}{d}$$ substituindo os valores do problema obtemos o seguinte resultado, $$\rho=257,25J/s$$