8.5) Um remador de $75kg$, sentado na popa de uma canoa de $150kg$ e $3m$ de comprimento, conseguiu trazê-la para uma posição em que está parada perpendicularmente à margem de um lago, que nesse ponto forma um barranco, com a proa encostada numa estaca onde o remador quer amarrar a canoa. Ele se levanta e caminha até a proa, o que leva a canoa a afastar-se da margem. Chegando à proa, ele consegue, esticando o braço, alcançar até uma distância de $80cm$ da proa. Conseguirá agarrar a estaca? Caso contrário, quanto falta?
Considere o centro de massa da canoa como localizado em seu ponto médio e despreze a resistência da água.
Adotando o referencial sobre a margem da estaca, com eixo $ox$ positivo para a direita,
No momento inicial o homem está a uma distância $x_H=l$ enquanto centro da canola está a uma distância $x_c=\frac{1}{2}l$ dessa forma podemos calcular com facilidade o centro de massa desse sistema,
$$C_m=\frac{\sum m_iR_i}{\sum m_i}=\frac{m_Hl+\frac{1}{2}m_cl}{m_H+m_c}\Rightarrow$$
$$C_m=\frac{m_H+\frac{1}{2}m_c}{m_H+m_c}l\ \ \ (1)$$
Por outro lado, em um segundo momento as posições do barco e do homem se alteram, porém, o centro de massa permanece constante,
Logo o centro de massa é dado por,
$$C_m=\frac{m_Hx_H+m_cx_c}{m_H+m_c}\ \ \ \ (2)$$
igualando as equações (1) e (2) obtemos,
$$\frac{m_Hx_H+m_cx_c}{m_H+m_c}=\frac{m_H+\frac{1}{2}m_c}{m_H+m_c}l\Rightarrow$$
$$m_Hx_H+m_cx_c=(m_H+\frac{1}{2}m_c)l\ \ \ (3)$$
Olhando para figura podemos perceber que nesse momento a seguinte relação é valida,
$$x_c-x_H=\frac{1}{2}l$$
ou seja,
$$x_c=x_H+\frac{1}{2}l\ \ \ (4)$$
Substituindo (4) em (3) obtemos a distância do homem até o toco,
$$m_Hx_H+m_c(x_H+\frac{1}{2}l)=(m_H+\frac{1}{2}m_c)l$$
Explicitando $x_H$ obtemos,
$$x_H=\frac{m_Hl}{m_H+m_c}$$
Substituindo os valores do problema obtemos,
$$x_H=1m$$
Como o homem só consegue alcançar uma distância de $80cm$ esticando o braço e ele está a uma distância de $1m$ da margem, ele não alcançará o toco faltando 20cm.
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