Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 7.13

7.13) Um satélite síncrono da Terra é um satélite cujo período de revolução em torno da Terra é de 24h, de modo que permanece sempre acima do mesmo ponto da superfície da Terra. (a) Para uma órbita circular, a que distância do centro da Terra (em km e em raios da Terra) precisa ser colocado um satélite para que seja síncrono? (b) Que velocidade mínima seria preciso comunicar a um corpo na superfície da Terra para que atingisse essa órbita (desprezando os efeitos da atmosfera)?

 a) Podemos adotar o referencial no satélite e usar a segunda lei de Newton representando assim o estado de equilíbrio das forças que atuam sobre o satélite, as forças que nos importam são a centrífuga e a peso, opostas e de mesmo modulo,

$$\vec{P}+\vec{F}_{cf}=0\Rightarrow$$ $$F_{cf}-P=0\Rightarrow$$ $$P=F_{cf}$$ Supondo que o satélite está a uma altura $h$ da superfície da terra o raio orbital $R$ será dado por $R=R_T+h$, onde $R_T$ é o raio da terra, sendo assim, $$mg_T=m\frac{v^2}{R}\Rightarrow$$ $$\left( \frac{GM_T}{R^2}\right) =\frac{v^2}{R}\Rightarrow$$ A velocidade tangencial $v$ pode ser escrita em termos da velocidade angular $v=\omega R$, $$\left( \frac{GM_T}{R^2}\right) =\omega^2R\Rightarrow$$ $$R=\sqrt[3]{\frac{GM_T}{\omega^2}}\ \ \ (1)$$ A velocidade angular é dada por $\omega=\frac{2\pi}{T}$, sendo $T$ o período orbital, $$R=\sqrt[3]{\frac{T^2GM_T}{4\pi^2}}$$ Para que o satélite mantenha uma órbita geoestacionária o período $T$ deve ser de $24h$ ou $86400s$, substituindo as informações do problema obtemos, $$R=\sqrt[3]{\frac{(86400s)^2(6,67408\times 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2})(5,972\times10^{24} kg)}{4(3,14)^2}}$$ Ou seja, $$R=4,2\times 10^{7}m$$ Dividindo o resultado pelo raio da terra obtemos, $$R=(6,63)R_T$$ b) Usando o mesmo referencial, podemos representar a energia no solo e na órbita em um momento posterior, no solo o satélite terá energia cinética e potencial, $$E_i=\frac{1}{2}mv_i^2-mg_TR_T$$ Em um segundo momento teremos uma nova energia cinética dada pela velocidade tangencial orbital da parte (a) desse exercício $v=\frac{2\pi}{T}R=3071m/s$, e a energia total na órbita é, $$E_f=\frac{1}{2}mv^2-mg_TR$$ Usando conservação de energia obtemos, $$E_i=\frac{1}{2}mv_i^2-mg_TR_T=\frac{1}{2}mv^2-mg_TR=E_f\Rightarrow$$ Representando o modulo do campo gravitacional nos respectivos níveis potenciais, $$v_i^2-2\left( \frac{GM_T}{R_T^2}\right) R_T=v^2-2\left( \frac{GM_T}{R^2}\right) R$$ Explicitando a velocidade inicial $v_i$ obtemos, $$v_i=\sqrt{ v^2+2GM_T\left( \frac{1}{R_T}-\frac{1}{R}\right)} \Rightarrow$$ $$v_i=\sqrt{\left( \frac{2\pi}{T}R\right) ^2+2GM_T\left( \frac{1}{R_T}-\frac{1}{R}\right)}$$ Substituindo os valores do problema, $$\left\lbrace\begin{array}{lll} v=3071m/s\\ G=6,67408\times 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2}\\ M_T=5,972\times10^{24} kg\\ T=86400s\\ R=4,2\times 10^{7}m\\ R_T=6371000m\\ \end{array}\right.$$ $$v_i=10750m/s$$ Ou em uma unidade de medida mais adequada, $$v_i=10,750km/s$$