Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 7.4

7.4) Calcule o ângulo entre duas diagonais internas (que passam por dentro) de um cubo, utilizando o produto escalar de vetores. Podemos construir um cubo com três vetores de mesmo modulo e ortogonais entre si $|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=a$,

As diagonais do cubo são os vetores $\vec{v}-\vec{u}+\vec{w}$ e $\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}$, o angulo os dois vetores é dado pela expressão, $$\cos\theta=\frac{\left( \vec{v}-\vec{u}+\vec{w}\right)\cdot\left( \vec{v}+\vec{u}+\vec{w}\right) }{| \vec{v}-\vec{u}+\vec{w}||\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}| }$$ Podemos desenvolver a expressão e obter, $$\cos\theta=\frac{\vec{v}\cdot\vec{v}-\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{w}} {|\vec{v}-\vec{u}+\vec{w}||\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}| }\ \ \ \ \ (1)$$ Podemos descobrir o modulo dos vetores $\vec{v}-\vec{u}+\vec{w}$ e $\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}$ olhando para os vetores, $\vec{u}+\vec{v}$ e $\vec{u}-\vec{v}$,

Como $\vec{v}+\vec{u}$ e $\vec{v}-\vec{u}$ são diagonais da base do cubo, que é um quadrado, ambos tem modulo $|\vec{v}+\vec{u}|=|\vec{v}-\vec{u}|=a\sqrt{2}$, logo o modulo das diagonais são dados por, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} |\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}|^2=|\vec{v}+\vec{u}|^2+|\vec{w}|^2\\ |\vec{v}-\vec{u}+\vec{w}|^2=|\vec{v}-\vec{u}|^2+|\vec{w}|^2\\ \end{array}\right.$$ Ou seja, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} |\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}|=\sqrt{2a^2+a^2}\\ |\vec{v}-\vec{u}+\vec{w}|=\sqrt{2a^2+a^2}\\ \end{array}\right.$$ Substituindo os valores em (1) obtemos, $$\cos\theta=\frac{|\vec{v}|^2-|\vec{u}|^2+|\vec{w}|^2} {2a^2+a^2}\Rightarrow$$ $$\cos\theta=\frac{a^2-a^2+a^2} {3a^2}\Rightarrow$$ $$\cos\theta=\frac{a^2} {3a^2}\Rightarrow$$ $$\cos\theta=\frac{1} {3}\Rightarrow$$ $$\theta=\arccos\left( \frac{1} {3}\right)\Rightarrow$$ $$\theta=\left( 70,5\right)°$$