Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 7.7

7.7) Uma partícula se move no plano xy sob a ação da força $\vec{F}_1=10(y\hat{i} − x\hat{j})$, onde $|\vec{F}_1|$ é medido em $N$, e $x$ e $y$ em $m$. (a) Calcule o trabalho realizado por $F_1$ ao longo do quadrado indicado na figura. (b) Faça o mesmo para $\vec{F}_2=10(y\hat{i}+x\hat{j})$. (c) O que você pode concluir a partir de (a) e (b) sobre o caráter conservativo ou não de $F_1$ e $F_2$ ? (d) Se uma das duas forças parece ser conservativa, procure obter a energia potencial $U$ associada, tal que $F=-grad(U)$.

a) Podemos dividir a trajetória em três partes e em seguida encontrar o caminho para casa uma delas,

representaremos o caminho de cada parte da trajetória pelas equações vetoriais, $$\left\lbrace \begin{array}{llll} \vec{r_1}=\left( x,0\right)\ \ \ \ 0\leqslant x \leqslant l \\ \vec{r_2}=\left( l,y\right)\ \ \ \ 0\leqslant y \leqslant l \\ \vec{r_3}=\left(x,l\right)\ \ \ \ l\leqslant x \leqslant 0\\ \vec{r_4}=\left( 0,y\right)\ \ \ \ l\leqslant y \leqslant 0 \\\\ \end{array}\right.$$ Podemos então expressar o trabalho $W_1$ realizado pela força $\vec{F}_1$ da seguinte forma, $$W_1=\int_{l_1}\vec{F}_1\cdot d\vec{r_1}+\int_{l_2}\vec{F}_1\cdot d\vec{r_2}+\int_{l_3}\vec{F}_1\cdot d\vec{r_3}+\int_{l_4}\vec{F}_1\cdot d\vec{r_4}$$ Ou seja, $$W_1= \int_0^{l}10(y\hat{i} - x\hat{j})\cdot\hat{i} dx+ \int_0^{l}10(y\hat{i} - x\hat{j})\cdot\hat{j} dy+ \int_{l}^010(y\hat{i} - x\hat{j})\cdot\hat{i} dx+ \int_{l}^010(y\hat{i} - x\hat{j})\cdot\hat{j} dy \Rightarrow$$ $$W_1= \int_0^{l}10ydx- \int_0^{l}10xdy+ \int_{l}^010ydx- \int_{l}^010xdy \Rightarrow$$ Substituindo as componentes de cada função, $$W_1= \int_0^{l}10(0)dx- \int_0^{l}10ldy+ \int_{l}^010ldx- \int_{l}^010(0)dy \Rightarrow$$ $$W_1= -\int_0^{l}10ldy+ \int_{l}^010ldx- \Rightarrow$$ Integrando, $$W_1= -\left[ 10ly\right]_0^l+ \left[ 10lx\right]_l^0 \Rightarrow$$ $$W_1= -10l^2-10l^2 \Rightarrow$$ $$W_1= -20l^2$$ Substituindo os valores do problema $l=1m$ $$W_1=-20J$$ b) Podemos representar o caminho de cada parte da trajetória pelas equações vetoriais, $$\left\lbrace \begin{array}{llll} \vec{r_1}=\left( x,0\right)\ \ \ \ 0\leqslant x \leqslant l \\ \vec{r_2}=\left( l,y\right)\ \ \ \ 0\leqslant y \leqslant l \\ \vec{r_3}=\left(x,l\right)\ \ \ \ l\leqslant x \leqslant 0\\ \vec{r_4}=\left( 0,y\right)\ \ \ \ l\leqslant y \leqslant 0 \\\\ \end{array}\right.$$ Podemos então expressar o trabalho $W_2$ realizado pela força $\vec{F}_2$ da seguinte forma, $$W_2=\int_{l_1}\vec{F}_2\cdot d\vec{r_1}+\int_{l_2}\vec{F}_2\cdot d\vec{r_2}+\int_{l_3}\vec{F}_2\cdot d\vec{r_3}+\int_{l_4}\vec{F}_2\cdot d\vec{r_4}$$ Ou seja, $$W_2= \int_0^{l}10(y\hat{i} + x\hat{j})\cdot\hat{i} dx+ \int_0^{l}10(y\hat{i} + x\hat{j})\cdot\hat{j} dy+ \int_{l}^010(y\hat{i} + x\hat{j})\cdot\hat{i} dx+ \int_{l}^010(y\hat{i} + x\hat{j})\cdot\hat{j} dy \Rightarrow$$ $$W_2= \int_0^{l}10ydx+ \int_0^{l}10xdy+ \int_{l}^010ydx+ \int_{l}^010xdy \Rightarrow$$ Substituindo as componentes de cada função, $$W_2= \int_0^{l}10(0)dx+ \int_0^{l}10ldy+ \int_{l}^010ldx+ \int_{l}^010(0)dy \Rightarrow$$ $$W_2= \int_0^{l}10ldy+ \int_{l}^010ldx- \Rightarrow$$ Integrando, $$W_2= \left[ 10ly\right]_0^l+ \left[ 10lx\right]_l^0 \Rightarrow$$ $$W_2= 10l^2-10l^2 \Rightarrow$$ $$W_2=0J$$ c) Fica claro que a força $\vec{F}_2$ pode ser conservativa, podemos então lembrar do fato de que, $$\vec{F}_2=-grad U$$ Ou seja, existe uma função potencial associado a força se ela é conservativa, $$\left( 10y,10x\right) =-\left( \frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y}\right)$$ Obtemos então a relação componente a componente, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} \frac{\partial U}{\partial x}=-10y\ \ \ (1)\\ \frac{\partial U}{\partial y}=-10x\ \ \ (2)\\ \end{array}\right.$$ Podemos integrar a equação 1 em $x$ e obter, $$\frac{\partial U}{\partial x}=-10y\Rightarrow$$ $$\int\frac{\partial U}{\partial x}dx=-10\int ydx\Rightarrow$$ $$U(x,y)=-10xy+k(y)\ \ \ (3)$$ Podemos derivar parcialmente a equação em função de $y$ e obter, $$\frac{\partial U}{\partial y}=-10x+k'(y)$$ igualando a resultante a equação (2) obtemos k'(y), $$-10x+k'(y)=-10x\Rightarrow$$ $$k'(y)=0\ \ \ \ (4)$$ Substituindo (4) em (3) obtemos, $$U(x,y)=-10xy$$