Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 6.11

6.11) Uma partícula de massa m move-se em uma dimensão com energia potencial $U(x)$ representada pela curva da Fig. (as beiradas abruptas são idealizações de um potencial rapidamente variável). Inicialmente, a partícula está dentro do poço de potencial (região entre $x_1$ e $x_2$ ) com energia E tal que $V_0 \geqslant E\geqslant V_1$. Mostre que o movimento subsequente será periódico e calcule o período.

Dentro do vale potencial a partícula tem energia dada por, $$E=\frac{1}{2}mv^2+V_0$$ Isolando a velocidade obtemos, $$v=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V_0 \right) }$$ O sinal está relacionado a uma abrupta mudança de direção da partícula, lembrando que a velocidade é a derivada da posição $x$ no tempo, logo, $$\frac{dx}{dt}=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V_0 \right) }$$ Em termos de diferencial obtemos, $$dx=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V_0 \right) }dt$$ Integrando os dois lados da igualdade obtemos a posição da partícula, $$x=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V_0 \right) }t$$ Como a partícula está em um potencial $V_0$, para ir para um potencial mais elevado a partícula precisa realizar um trabalho para chegar ate o potencial $V_1$ e poder sair do vale de potencial, como isso não acontece ela ficara confinada e oscilando no potencial indefinidamente, ou até que ela realize um trabalho que a leve para um potencial igual, ou superior a $V_1$. Para calcula o período basta calcular qual é o tempo necessário para a particular percorrer a distância l duas vezes, isto é, $$2l=vt_p\Rightarrow$$ $$t_p=\frac{2l}{v}\Rightarrow$$ $$t_p=\frac{2l}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V_0 \right) }}$$