Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 7.14

7.14) Utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais enunciado na Seç. 7.3 para obter as condições de equilíbrio da alavanca [Fig. (a)] e do plano inclinado [Fig. (b)]. Para isto, imagine que um pequeno deslocamento, compatível com os vínculos a que estão sujeitas, é dado às massas, e imponha a condição de que o trabalho realizado nesse deslocamento (trabalho virtual) deve ser nulo.

a) Adotando o referencial em cada bloco de massa $m_1$ e $m_2$ e escrever neles as forças que atuam sobre cada bloco,

Em cada bloco atua uma força de vínculo (tensão) e uma força aplicada sobre o bloco (Peso), podemos escrever o trabalho que cada força realizar em termo do deslocamento virtual $\delta \theta_1$ e $\delta \theta_2$ que são os ângulos infinitesimais que a tabua faz com a horizontal, os vínculos do sistema são dados por, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} x_1=l_1\delta \theta_1\\ x_2=l_2\delta \theta_2\\ \end{array}\right.$$ O trabalho então é expresso por, $$W=-P_1x_1-P_2x_2+T_1x_1+T_2x_2$$ , porém, as tenções são forças de vínculo e pelo teorema do trabalho virtual eles não realizam trabalho, $$W=-m_1gl_1\delta \theta_1-m_2gl_2\delta \theta_2$$ O teorema do trabalho virtual garante que para que um sistema esteja em repouso é suficiente que o trabalho realizado por ele seja nulo, $$0=-m_1gl_1\delta \theta_1-m_2gl_2\delta \theta_2\Rightarrow$$ $$m_1gl_1\delta \theta_1=-m_2gl_2\delta \theta_2$$ Ao examinar o movimento ao longo dos vínculos obtemos que, $\delta \theta_2=-\delta \theta_1$, logo, $$m_1gl_1\delta \theta_1=m_2gl_2\delta \theta_1\Rightarrow$$ $$m_1l_1\delta \theta_1=m_2l_2\delta \theta_1\Rightarrow$$ $$m_1l_1=m_2l_2\ \ \ \ (1)$$ Sendo assim, para que o sistema esteja em equilíbrio basta que as massas $m_1$, $m_2$ e os comprimento $l_1$ e $l_2$ respeitem a relação (1).

b) Adotando os referenciais $S_1$ e $S_2$ sobre os blocos no plano inclinado com eixo $x$ no sentido do movimento, horizontal a superfície da rampa em cada caso,

O vínculo associado a cada bloco é dado por, $$\left\lbrace \begin{array}{ll} \delta \vec{r}_1=\delta x_1\hat{i}+\delta y_1\hat{j}\\ \delta \vec{r}_2=\delta x_2\hat{i}+\delta y_2\hat{j}\\ \end{array}\right.$$ Como o trabalho é uma gradeza escalar e isotrópica, logo,  invariante por rotações dos referenciais, podemos somar os trabalhos realizados por cada força, como as tensões $\vec{T}_1$, $\vec{T}_2$ e as normais $\vec{N}_1$ e $\vec{N}_2$ são forças de vínculo e como a rampa não tem atrito, tais forças não realizam trabalho, $$W=\vec{P}_1\cdot \delta \vec{r}_1 +\vec{P}_2\cdot \delta \vec{r}_2\Rightarrow$$ $$W=\left( -P_1\sin\theta_1\hat{i}-P_1\cos\theta_1\hat{j}\right) \cdot \left( \delta x_1\hat{i}+\delta y_1\hat{j}\right) +\left( P_2\sin\theta_2\hat{i}+P_2\cos\theta_2\hat{j}\right)\cdot \left( \delta x_2\hat{i}+\delta y_2\hat{j}\right) \Rightarrow$$ $$W=\left( -P_1\sin\theta_1\delta x_1-P_1\cos\theta_1\delta y_1\right) +\left( P_2\sin\theta_2\delta x_2+P_2\cos\theta_2\delta y_2\right)$$ Como o deslocamento tem componente nula em $y$ obteremos, $$W=-P_1\sin\theta_1\delta x_1+ P_2\sin\theta_2\delta x_2$$ Pelo teorema do trabalho virtual é suficiente que o trabalho seja nulo para que o sistema esteja em equilíbrio, $$m_1\sin\theta_1\delta x_1= m_2\sin\theta_2\delta x_2$$ Como o vinculo limita o movimento dos blocos na mesma direção, temos que $\delta x_1=\delta x_2$ logo, $$m_1\sin\theta_1\delta x_1= m_2\sin\theta_2\delta x_1\Rightarrow$$ $$m_1\sin\theta_1= m_2\sin\theta_2\ \ \ (2)$$ Dessa forma concluímos  que o sistema respeite a relação (2) para que ele esteja em equilíbrio.