Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 6.7

6.7) Uma partícula de massa igual $2kg$ desloca-se ao longo de uma reta. Entre $x=0$ e $x=7 m$, ela está sujeita à força $F(x)$ representada no gráfico. Calcule a velocidade da partícula depois de percorrer 2, 3, 4, 6 e $7m$, sabendo que sua velocidade para $x=0$ é de $3m/s$.

O trabalho realizado pela partícula é a área a baixo da curva, $$\left\lbrace \begin{array}{llllll} W_{0,2}=-4J\\ W_{2,3}=-1J\\ W_{3,4}=1J\\ W_{5,6}=4J\\ W_{6,7}=1J\\ \end{array} \right.$$ Lembrando que, $$W_{i,f}=\int_{x_i}^{x_f}F(x)dx=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2$$ Na primeira parte entre $x=0m$ e $x=2m$, teremos que, $$W_{0,2}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_0^2\Rightarrow$$ $$v_2=\sqrt{2\frac{W_{0,2}}{m}+v_0^2}\ \ \ (1)$$ Na segunda parte entre $x=2m$ e $x=3m$, teremos que, $$W_{2,3}=\frac{1}{2}mv_3^2-\frac{1}{2}mv_2^2\Rightarrow$$ $$v_3=\sqrt{2\frac{W_{2,3}}{m}+v_2^2}$$ aplicando (1) obtemos, $$v_3=\sqrt{\frac{2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\ \ \ (2)$$ Na terceira parte entre $x=3m$ e $x=4m$, teremos que, $$W_{3,4}=\frac{1}{2}mv_4^2-\frac{1}{2}mv_3^2\Rightarrow$$ $$v_4=\sqrt{2\frac{W_{3,4}}{m}+v_3^2}$$ aplicando (2) obtemos, $$v_4=\sqrt{\frac{2W_{3,4}+2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\ \ \ \ (3)$$ Na quarta parte entre $x=4m$ e $x=6m$, teremos que, $$W_{4,6}=\frac{1}{2}mv_6^2-\frac{1}{2}mv_4^2\Rightarrow$$ $$v_6=\sqrt{2\frac{W_{4,6}}{m}+v_4^2}$$ aplicando (3) obtemos, $$v_6=\sqrt{\frac{2W_{4,6}+2W_{3,4}+2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\ \ \ (4)$$ Na sexta parte entre $x=6m$ e $x=7m$, teremos que, $$W_{6,7}=\frac{1}{2}mv_7^2-\frac{1}{2}mv_6^2\Rightarrow$$ $$v_7=\sqrt{2\frac{W_{6,7}}{m}+v_6^2}$$ aplicando (4) obtemos, $$v_7=\sqrt{\frac{2W_{6,7}+2W_{5,6}+2W_{4,5}+2W_{3,4}+2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\ \ \ (5)$$ Logo as velocidades são dadas por, (1), (2), (3), (4) e (5), $$\left\lbrace \begin{array}{llllll} v_2=\sqrt{2\frac{W_{0,2}}{m}+v_0^2}\\ v_3=\sqrt{\frac{2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\\ v_4=\sqrt{\frac{2W_{3,4}+2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\\ v_6=\sqrt{\frac{2W_{5,6}+2W_{4,5}+2W_{3,4}+2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\\ v_7=\sqrt{\frac{2W_{6,7}+2W_{5,6}+2W_{4,5}+2W_{3,4}+2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\\ \end{array}\right.$$ Substituindo os valores obtemos, $$\left\lbrace \begin{array}{llllll} v_2=\sqrt{2\frac{(-4J)}{(2kg)}+(3m/s)^2}\\ v_3=\sqrt{2\frac{(-1J)+(-4J)}{(2kg)}+(3m/s)^2}\\ v_4=\sqrt{2\frac{(1J)+(-1J)+(-4J)}{(2kg)}+(3m/s)^2}\\ v_6=\sqrt{2\frac{(4J)+(1J)+(-1J)+(-4J)}{(2kg)}+(3m/s)^2}\\ v_7=\sqrt{2\frac{(1J)+(4J)+(1J)+(-1J)+(-4J)}{(2kg)}+(3m/s)^2}\\ \end{array}\right. \Rightarrow$$ $$\left\lbrace \begin{array}{llllll} v_2=2,23m/s\\ v_3=2m/s\\ v_4=2,23m/s\\ v_6=3m/s\\ v_7=3,16m/s\\ \end{array}\right.$$