6.7) Uma partícula de massa igual $2kg$ desloca-se ao longo de uma reta. Entre $x=0$ e $x=7 m$, ela
está sujeita à força $F(x)$ representada no gráfico. Calcule a velocidade da partícula depois de percorrer 2, 3, 4, 6 e $7m$, sabendo que sua velocidade para $x=0$ é de $3m/s$.
O trabalho realizado pela partícula é a área a baixo da curva,
$$\left\lbrace \begin{array}{llllll}
W_{0,2}=-4J\\
W_{2,3}=-1J\\
W_{3,4}=1J\\
W_{5,6}=4J\\
W_{6,7}=1J\\
\end{array}
\right. $$
Lembrando que,
$$W_{i,f}=\int_{x_i}^{x_f}F(x)dx=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2$$
Na primeira parte entre $x=0m$ e $x=2m$, teremos que,
$$W_{0,2}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_0^2\Rightarrow$$
$$v_2=\sqrt{2\frac{W_{0,2}}{m}+v_0^2}\ \ \ (1)$$
Na segunda parte entre $x=2m$ e $x=3m$, teremos que,
$$W_{2,3}=\frac{1}{2}mv_3^2-\frac{1}{2}mv_2^2\Rightarrow$$
$$v_3=\sqrt{2\frac{W_{2,3}}{m}+v_2^2}$$
aplicando (1) obtemos,
$$v_3=\sqrt{\frac{2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\ \ \ (2)$$
Na terceira parte entre $x=3m$ e $x=4m$, teremos que,
$$W_{3,4}=\frac{1}{2}mv_4^2-\frac{1}{2}mv_3^2\Rightarrow$$
$$v_4=\sqrt{2\frac{W_{3,4}}{m}+v_3^2}$$
aplicando (2) obtemos,
$$v_4=\sqrt{\frac{2W_{3,4}+2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\ \ \ \ (3)$$
Na quarta parte entre $x=4m$ e $x=6m$, teremos que,
$$W_{4,6}=\frac{1}{2}mv_6^2-\frac{1}{2}mv_4^2\Rightarrow$$
$$v_6=\sqrt{2\frac{W_{4,6}}{m}+v_4^2}$$
aplicando (3) obtemos,
$$v_6=\sqrt{\frac{2W_{4,6}+2W_{3,4}+2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\ \ \ (4)$$
Na sexta parte entre $x=6m$ e $x=7m$, teremos que,
$$W_{6,7}=\frac{1}{2}mv_7^2-\frac{1}{2}mv_6^2\Rightarrow$$
$$v_7=\sqrt{2\frac{W_{6,7}}{m}+v_6^2}$$
aplicando (4) obtemos,
$$v_7=\sqrt{\frac{2W_{6,7}+2W_{5,6}+2W_{4,5}+2W_{3,4}+2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\ \ \ (5)$$
Logo as velocidades são dadas por, (1), (2), (3), (4) e (5),
$$\left\lbrace \begin{array}{llllll}
v_2=\sqrt{2\frac{W_{0,2}}{m}+v_0^2}\\
v_3=\sqrt{\frac{2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\\
v_4=\sqrt{\frac{2W_{3,4}+2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\\
v_6=\sqrt{\frac{2W_{5,6}+2W_{4,5}+2W_{3,4}+2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\\
v_7=\sqrt{\frac{2W_{6,7}+2W_{5,6}+2W_{4,5}+2W_{3,4}+2W_{2,3}+2W_{0,2}}{m}+v_0^2}\\
\end{array}\right. $$
Substituindo os valores obtemos,
$$\left\lbrace \begin{array}{llllll}
v_2=\sqrt{2\frac{(-4J)}{(2kg)}+(3m/s)^2}\\
v_3=\sqrt{2\frac{(-1J)+(-4J)}{(2kg)}+(3m/s)^2}\\
v_4=\sqrt{2\frac{(1J)+(-1J)+(-4J)}{(2kg)}+(3m/s)^2}\\
v_6=\sqrt{2\frac{(4J)+(1J)+(-1J)+(-4J)}{(2kg)}+(3m/s)^2}\\
v_7=\sqrt{2\frac{(1J)+(4J)+(1J)+(-1J)+(-4J)}{(2kg)}+(3m/s)^2}\\
\end{array}\right. \Rightarrow$$
$$\left\lbrace \begin{array}{llllll}
v_2=2,23m/s\\
v_3=2m/s\\
v_4=2,23m/s\\
v_6=3m/s\\
v_7=3,16m/s\\
\end{array}\right.$$
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